Планируемые результаты
Базовый уровень
Углубленный уровень
«Проблемно-функциональные результаты»
«Системно-теоретические результаты»
Раздел
I. Выпускник научится
III. Выпускник получит
II. Выпускник научится
IV. Выпускник получит
возможность научиться
возможность научиться
Для использования в
Для развития мышления,
Для успешного продолжения Для обеспечения
Цели
повседневной жизни и
использования в повседневной образования
возможности успешного
освоения
обеспечения возможности
жизни
по специальностям,
продолжения образования по
предмета
успешного продолжения
и обеспечения возможности связанным с прикладным
специальностям, связанным с
образования по
успешного продолжения
использованием математики
осуществлением научной и
специальностям, не связанным образования по
исследовательской
с прикладным использованием специальностям, не
деятельности в области
математики
связанным с прикладным
математики и смежных
использованием математики
наук
Требования к результатам
2
Элементы
 Оперировать на базовом  Оперировать понятиями:
 Свободно оперировать3
 Достижение
теории
уровне1 понятиями:
конечное множество,
понятиями: конечное
результатов раздела II;
множеств
конечное множество,
элемент множества,
множество, элемент
 оперировать понятием
и
элемент множества,
подмножество, пересечение
множества,
определения, основными
математич
подмножество,
и объединение множеств,
подмножество,
видами определений,
еской
пересечение и
числовые множества на
пересечение, объединение
основными видами
логики
объединение множеств,
координатной прямой,
и разность множеств,
теорем;
числовые множества на
отрезок, интервал,
числовые множества на
 понимать суть
координатной прямой,
полуинтервал, промежуток
координатной прямой,
косвенного
1

Здесь и далее: распознавать конкретные примеры общих понятий по характерным признакам, выполнять действия в соответствии с определением и простейшими
свойствами понятий, конкретизировать примерами общие понятия.
2
Здесь и далее; знать определение понятия, уметь пояснять его смысл, уметь использовать понятие и его свойства при проведении рассуждений, решении задач.
3
Здесь и далее: знать определение понятия, знать и уметь обосновывать свойства(признаки, если они есть) понятия, характеризовать связи с другими понятиями,
представляя одно понятие как часть целостного комплекса, использовать понятие и его свойства при проведении рассуждений, доказательств, решении задач.

1









отрезок, интервал;
оперировать на базовом
уровне понятиями:
утверждение, отрицание
утверждения, истинные
и ложные утверждения,
причина, следствие,
частный случай общего
утверждения,
контрпример;
находить пересечение и
объединение двух
множеств,
представленных
графически на числовой
прямой;
строить на числовой
прямой подмножество
числового множества,
заданное простейшими
условиями;
распознавать ложные
утверждения, ошибки в
рассуждениях,
в
том числе с
использованием
контрпримеров.

В повседневной жизни и
при изучении других
предметов:
 использовать числовые
множества на








с выколотой точкой,
графическое представление
множеств на координатной
плоскости;
оперировать понятиями:
утверждение, отрицание
утверждения, истинные и
ложные утверждения,
причина, следствие,
частный случай общего
утверждения, контрпример;
проверять принадлежность
элемента множеству;
находить пересечение и
объединение множеств, в
том числе представленных
графически на числовой
прямой и на координатной
плоскости;
проводить доказательные
рассуждения для
обоснования истинности
утверждений.








В повседневной жизни и при
изучении других предметов:
 использовать числовые
множества на
координатной прямой и на
координатной плоскости для 
описания реальных процессов
и явлений;
 проводить доказательные

отрезок,
интервал,полуинтервал,
промежуток с выколотой
точкой, графическое
представление множеств
на координатной
плоскости;
задавать множества
перечислением и
характеристическим
свойством;
оперировать понятиями:
утверждение, отрицание
утверждения, истинные и
ложные утверждения,
причина, следствие,
частный случай общего
утверждения,
контрпример;
проверять
принадлежность элемента
множеству;
находить пересечение и
объединение множеств, в
том числе
представленных
графически на числовой
прямой и на
координатной плоскости;
проводить доказательные
рассуждения для
обоснования истинности
утверждений.

доказательства;
 оперировать понятиями
счетного и несчетного
множества;
 применять метод
математической
индукции для проведения
рассуждений и
доказательств и при
решении задач.
В повседневной жизни и при
изучении других
предметов:
 использовать теоретикомножественный язык и
язык логики для описания
реальных процессов и
явлений, при решении
задач других учебных
предметов

2

координатной прямой
для описания реальных
процессов и явлений;
 проводить логические
рассуждения в
ситуациях повседневной
жизни

Числа и
выражения

 Оперировать на базовом
уровне понятиями:
целое число, делимость
чисел, обыкновенная
дробь, десятичная
дробь, рациональное
число, приближѐнное
значение числа, часть,
доля, отношение,
процент, повышение и
понижение на заданное
число процентов,
масштаб;
 оперировать на базовом
уровне понятиями:
логарифм числа,
тригонометрическая
окружность, градусная

рассуждения в ситуациях
повседневной жизни, при
решении задач из других
предметов

 Свободно оперировать
понятиями: целое число,
делимость чисел,
обыкновенная дробь,
десятичная дробь,
рациональное число,
приближѐнное значение
числа, часть, доля,
отношение, процент,
повышение и понижение на
заданное число процентов,
масштаб;
 приводить примеры чисел с
заданными свойствами
делимости;
 оперировать понятиями:
логарифм числа,
тригонометрическая

В повседневной жизни и при
изучении других
предметов:
 использовать числовые
множества на
координатной прямой и
на координатной
плоскости для описания
реальных процессов и
явлений;
 проводить доказательные
рассуждения в ситуациях
повседневной жизни, при
решении задач из других
предметов
 Свободно оперировать
понятиями: натуральное
число, множество
натуральных чисел, целое
число, множество целых
чисел, обыкновенная
дробь, десятичная дробь,
смешанное число,
рациональное число,
множество рациональных
чисел, иррациональное
число, корень степени n,
действительное число,
множество
действительных чисел,
геометрическая
интерпретация
натуральных, целых,

 Достижение
результатов раздела II;
 свободно оперировать
числовыми множествами
при решении задач;
 понимать причины и
основные идеи
расширения числовых
множеств;
 владеть основными
понятиями теории
делимости при решении
стандартных задач
 иметь базовые
представления о
множестве комплексных
чисел;
 свободно выполнять
3










мера угла, величина
угла, заданного точкой
на тригонометрической
окружности, синус,
косинус, тангенс и
котангенс углов,
имеющих произвольную
величину;
выполнять
арифметические
действия с целыми и
рациональными
числами;
выполнять несложные
преобразования
числовых выражений,
содержащих степени
чисел, либо корни из
чисел, либо логарифмы
чисел;
сравнивать
рациональные числа
между собой;
оценивать и сравнивать
с рациональными
числами значения целых
степеней чисел, корней
натуральной степени из
чисел, логарифмов
чисел в простых
случаях;
изображать точками на
числовой прямой целые








окружность, радианная и
градусная мера угла,
величина угла, заданного
точкой на
тригонометрической
окружности, синус, косинус,
тангенс и котангенс углов,
имеющих произвольную
величину, числа е и π;
выполнять арифметические
действия, сочетая устные и
письменные приемы,
применяя при
необходимости
вычислительные
устройства;
находить значения корня
натуральной степени,
степени с рациональным
показателем, логарифма,
используя при
необходимости
вычислительные
устройства;
пользоваться оценкой и
прикидкой при практических
расчетах;
проводить по известным
формулам и правилам
преобразования буквенных
выражений, включающих
степени, корни, логарифмы и
тригонометрические












рациональных,
действительных чисел;
понимать и объяснять
разницу между
позиционной и
непозиционной
системами записи чисел;
переводить числа из
одной системы записи
(системы счисления) в
другую;
доказывать и
использовать признаки
делимости суммы и
произведения при
выполнении вычислений
и решении задач;
выполнять округление
рациональных и
иррациональных чисел с
заданной точностью;
сравнивать
действительные числа
разными способами;
упорядочивать числа,
записанные в виде
обыкновенной и
десятичной дроби, числа,
записанные с
использованием
арифметического
квадратного корня,
корней степени больше 2;














тождественные
преобразования
тригонометрических,
логарифмических,
степенных выражений;
владеть формулой
бинома Ньютона;
применять при решении
задач теорему о
линейном представлении
НОД;
применять при решении
задач Китайскую
теорему об остатках;
применять при решении
задач Малую теорему
Ферма;
уметь выполнять запись
числа в позиционной
системе счисления;
применять при решении
задач теоретикочисловые функции: число
и сумма делителей,
функцию Эйлера;
применять при решении
задач цепные дроби;
применять при решении
задачмногочлены с
действительными и
целыми
коэффициентами;
владеть понятиями
4













и рациональные числа;
изображать точками на
числовой прямой целые
степени чисел, корни
натуральной степени из
чисел, логарифмы чисел
в простых случаях;
выполнять несложные
преобразования целых и
дробно-рациональных
буквенных выражений;
выражать в простейших
случаях из равенства
одну переменную через
другие;
вычислять в простых
случаях значения
числовых и буквенных
выражений,
осуществляя
необходимые
подстановки и
преобразования;
изображать
схематически угол,
величина которого
выражена в градусах;
оценивать знаки синуса,
косинуса, тангенса,
котангенса конкретных
углов.

В повседневной жизни и









функции;
находить значения числовых
и буквенных выражений,
осуществляя необходимые
подстановки и
преобразования;
изображать схематически
угол, величина которого
выражена в градусах или
радианах;
использовать при решении
задач табличные значения
тригонометрических
функций углов;
выполнять перевод величины
угла из радианной меры в
градусную и обратно.

В повседневной жизни и при
изучении других учебных
предметов:
 выполнять действия с
числовыми данными при
решении задач
практического характера и
задач из различных областей
знаний, используя при
необходимости справочные
материалы и
вычислительные
устройства;
 оценивать, сравнивать и
использовать при решении

 находить НОД и НОК
разными способами и
использовать их при
решении задач;
 выполнять вычисления и
преобразования
выражений, содержащих
действительные числа, в
том числе корни
натуральных степеней;
 выполнять стандартные
тождественные
преобразования
тригонометрических,
логарифмических,
степенных,
иррациональных
выражений.

приводимый и
неприводимый многочлен
и применять их при
решении задач;
 применять при решении
задач Основную теорему
алгебры;
 применять при решении
задач простейшие
функции комплексной
переменной как
геометрические
преобразования

В повседневной жизни и при
изучении других
предметов:
 выполнять и объяснять
сравнение результатов
вычислений при решении
практических задач, в том
числе приближенных
вычислений, используя
разные способы
сравнений;
 записывать, сравнивать,
округлять числовые
данные реальных величин

5









Уравнения
и
неравенств
а





при изучении других
учебных предметов:
выполнять вычисления
при решении задач
практического
характера;
выполнять
практические расчеты с
использованием при
необходимости
справочных материалов
и вычислительных
устройств;
соотносить реальные
величины,
характеристики
объектов окружающего
мира с их конкретными
числовыми значениями;
использовать методы
округления,
приближения и
прикидки при решении
практических задач
повседневной жизни
Решать линейные
уравнения и
неравенства,
квадратные уравнения;
решать
логарифмические
уравнения вида loga (bx
+ c) = d и простейшие

практических задач
числовые значения реальных
величин, конкретные
числовые характеристики
объектов окружающего
мира

с использованием разных
систем измерения;
 составлять и оценивать
разными способами
числовые выражения при
решении практических
задач и задач из других
учебных предметов

 Решать рациональные,
показательные и
логарифмические уравнения
и неравенства, простейшие
иррациональные и
тригонометрические
уравнения, неравенства и их
системы;

 Свободно оперировать
понятиями: уравнение,
неравенство,
равносильные уравнения
и неравенства, уравнение,
являющееся следствием
другого уравнения,
уравнения, равносильные

 Достижение
результатов раздела II;
 свободно определять тип
и выбирать метод
решения показательных и
логарифмических
уравнений и неравенств,
иррациональных

6

неравенства вида
logax